ELECTROTECNIA: 2015

sábado, 18 de abril de 2015

IMPORTANCIA DE LAS LEYES DE KIRCHHOFF

Las leyes de Kirchhoff establecen un postulado de mucha importancia para el estudio de la física eléctrica o por consiguiente para el estudio de circuitos, donde se afirma que la suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a las que salen, a partir de la teoría de la conservación de la energía analizaran algunos aspectos como la relación de las corrientes en distintos puntos del sistema.

ANALISIS DE NODOS

En análisis de circuitos eléctricos, el análisis de nodos, o método de tensiones nodales es un método para determinar la tensión (diferencia de potencial) de uno o más nodos.

Cuando se analiza un circuito por las leyes de Kirchhoff, se podrían usar análisis de nodos (tensiones nodales) por la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) o análisis de malla (corrientes de malla) usando la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK). En el análisis de nodos se escribe una ecuación para cada nodo, con condición que la suma de esas corrientes sea igual a cero en cualquier instante, por lo que una carga

\mathrm{Q}\,

nunca puede acumularse en un nodo. Estas corrientes se escriben en términos de las tensiones de cada nodo del circuito. Así, en cada relación se debe dar la corriente en función de la tensión que es nuestra incógnita, por la conductancia. Por ejemplo, para un resistor, I_rama = V_rama * G, donde G es la Conductancia del resistor.

El análisis de nodos es posible cuando todos los nodos tienen conductancia. Este método produce un sistema de ecuaciones que puede resolverse a mano si es pequeño, o también puede resolverse rápidamente usando álgebra lineal en un computador. Por el hecho de que forme ecuaciones muy sencillas, este método es una base para muchos programas de simulación de circuitos (por ejemplo, SPICE). Cuando los elementos del circuito no tienen conductancia, se puede usar una extensión más general del análisis de nodos: el análisis de nodos modificado.

Los ejemplos simples de análisis de nodos se enfocan en elementos lineales. Las redes no lineales (que son más complejas) también se pueden resolver por el análisis de nodos al usar el método de Newton para convertir el problema no lineal en una secuencia de problemas lineales.

EJEMPLOS

Ejemplo 1: Caso básico

Figura 3: Circuito sencillo con una tensión desconocida V₁.

La única tensión desconocida en este circuito es V₁. Hay tres conexiones en este nodo y por esta razón, 3 corrientes a considerar. Ahora se analiza todas las corrientes que pasan por el nodo, así:

\begin{cases} \text{Corriente en R1:} & {V_1- V_s \over R_1} \\ \text{Corriente en R2:} & {V_1\over R_2} \\ \text{Corriente en Is:} & I_s =-I_s \\ \end{cases} \,

Con ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), tenemos:

\frac{V_1 - V_S}{R_1} + \frac{V_1}{R_2} - I_S = 0

Se resuelve con respecto a V₁:

V_1 = \left( \frac{V_S}{R1} + I_S \right) : \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)

Finalmente, la tensión desconocida se resuelve sustituyendo valores numéricos para cada variable. Después de haber obtenido estas ecuaciones y conocer cada tensión, es fácil calcular cualquier corriente desconocida.

V_1 = \left( \frac{5\text{ V}}{100\,\Omega} + 20\text{ mA} \right) : \left( \frac{1}{100\,\Omega} + \frac{1}{200\,\Omega} \right) \approx 4.667\text{ V}

Ejemplo 2[editar]

Figura 4: Gráfico del Ejemplo 2

Ejemplo: Del circuito de la figura 4 debemos hallar los voltajes en sus diferentes nodos'

Solución:

Se localizan todos los nodos del circuito.
Se busca el nodo con más conexiones y se le llama nodo de referencia V_d (Figura 5).
No hay fuentes de tensión.
Se le asignan variables a los nodos V_a, V_b y V_c
Se plantean las ecuaciones según las leyes de Kirchhoff, así:
- Para calcular el voltaje en el nodo Va, decimos que la resistencia de $2\Omega$ tiene la polaridad de la Figura 5. Así

Figura 5

\displaystyle \frac{V_a-V_b}{2}=10

simplificando:

{1 \over 2}V_a-{1 \over 2}V_b=10

Para calcular el voltaje en el segundo nodo (Vb) las resistencias que van a dicho nodo tendrán la polaridad de la Figura 6:

Figura 6

\displaystyle \frac{V_b-V_a}{2}+\displaystyle \frac{V_b}{3}+\displaystyle \frac{V_b-V_c}{4}=0

factorizando obtenemos

-{1 \over 2}V_a+{13 \over 12}V_b-{1 \over 4}V_c=0

Para la polaridad del nodo Vc asumimos así:

Figura 7

\displaystyle \frac{V_c-V_b}{4}+\displaystyle \frac{V_c}{5}=0

factorizando obtenemos:

-{1 \over 4}V_b+{9 \over 20}V_c=0

Sistema de ecuaciones: Obtenemos un sistema de ecuaciones del cual podemos determinar los valores del los voltajes en los nodos.

\begin{cases} {1 \over 2}V_a-{1 \over 2}V_b=10\\ -{1 \over 2}V_a+{13 \over 12}V_b-{1 \over4}V_c=0\\ -{1 \over 4}V_b+{9 \over 20}V_c=0\\ \end{cases} \,

Solucionando el sistema lineal, nos da como resultado los voltajes: $V_a= 42.5 V$ , $V_b= 22.5 V$ y $V_c=12.5V$

ESTRUCTURAS DE CIRCUITOS

Los elementos de circuito se pueden conectar de diferentes formas, hay dos formas de conexión que son las mas usadas y básicas en el análisis de circuitos.

CIRCUITO EN SERIE

Dos elementos o circuitos están conectados en serie cuando son los dos unicos elementos que están conectados a un nodo. Como consecuencia de la ley de Corrientes de Kirchhoff las corrientes en dos o más elementos en serie son iguales:

I_A = I_B

El circuito A está en serie con el circuito B.

Es de tener en cuenta un caso como el siguiente:

El elemento A no está en serie con B (A y B no son los únicos dos elementos en el nodo), ni en serie con C ( A y C no son los únicos dos elementos en el nodo), pero A está en serie con el circuito formado por B y C, la corriente I_A es entonces igual a la corriente total I_X en el circuito de B y C.

CIRCUITO EN PARALELO

Dos elementos o circuitos están conectados en paralelo cuando los terminales de ambos elementos están conectados a dos nodos comunes. Como consecuencia de la ley de Voltajes de Kirchhoff los voltaje en dos o más elementos en paralelo son iguales:

V_A = V_B

El circuito A está en paralelo con el circuito B.

Es de tener en cuenta un caso como el siguiente:

El elemento A no está en paralelo con B (el nodo inferior de A no es el nodo inferior de B), ni en paralelo con C ( el nodo superior de A no es el nodo superior de B), pero A está en paralelo con el circuito formado por B y C, el voltaje V_A es entonces igual al voltaje total V_X en el circuito de B y C.

CIRCUITOS EQUIVALENTES

Dos circuitos son equivalentes cuando al aplicar o tener el mismo voltaje en los terminales de los circuitos, la corriente que pasa por los dos circuitos es la misma.

Si cuando el voltaje VA es igual al voltaje VB se cumple que la corriente A es igual a la corriente B entonces el circuito A es equivalente al circuito B.

FUENTES

Son los dispositivos con los que se mantienen en forma continua los voltajes y corrientes dentro de un circuito.

FUENTES DE VOLTAJE: mantienen una diferencia de voltaje entre sus terminales, son los dispositivos que normalmente se conocen como fuentes de energía como por ejemplo: Pilas, baterías, dinamos, celdas solares., los adaptadores, generadores de AC. En el laboratorio de electrónica se usan las Fuentes DC, y los generadores de laboratorio,

FUENTES DE CORRIENTE: mantienen un flujo determinado de corriente hacia el circuito que tengan conectado, no son muy conocidas y se construyen en base a circuitos electrónicos.

CLASES DE FUENTES

Fuentes DC ideales

· De voltaje: mantienen un voltaje constante en sus terminales independiente de la corriente que les pida el circuito.

· De corriente: mantienen una corriente constante independiente del voltaje que tengan que aplicar al circuito.

Fuentes DC reales

En una fuente de voltaje el voltaje disminuye en la medida que se le va pidiendo más corriente.

En una fuente de corriente la corriente va disminuyendo en la medida que el voltaje en el circuito crece.

LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF

La suma de voltajes en una o en una de un circuito es igual a cero, para la evaluación numérica se toma como positivo el voltaje si se trata de una elevación de voltaje al pasar por el elemento y negativo si hay una caída de voltaje.

La trayectoria en el sentido marcado determina que hay elevaciòn de voltaje ( - a +) en V_A, V_C, V_E y hay caida de voltaje (+ a -) en V_AB y V_D.Al aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) nos resulta en la siguiente ecuación:

V_A-V_B +V_C-V_D+V_E = 0

Un forma rápida de plantear la ecuación de trayectoria es tener en cuenta el signo del voltaje al salir del elemento en el sentido de la trayectoria y ese signo se coloca en la ecuación, para el circuito mostrado el signo en el recorrido es + al salir de los elementos A, C y E y ese es el signo de V_A, V_C, V_E en la ecuación y es - al salir de B y D por lo tanto el signo de V_B y V_Des - en la ecuación.

Ejemplo 1

Dado V_A = 5 v, detreminar V_B y V_C

Para la trayectoria en color rojo se tiene: V_A-V_B = 0, entonces: 5 v -V_B = 0, de donde V_B = 5 v

Para la trayectoria en color verde se tiene: -V_C-V_B = 0, entonces: -V_C -5 v= 0, de donde V_C = -5 v; el signo menos indica que la polaridad es la contraria en el circuito real, este caso nos indica que para esta conexión llamada en paralelo los voltajes son iguales para todos los elementos en paralelo.

Ejemplo 2

Si V₁₃ = 10 v, V₁₂ = 7.5 v y V₄₃ = 4.8 v; hallar los otros voltajes.

Se observa que los voltajes se pueden indicar por el nombre del elemento como en el primer ejemplo o por la diferencia de voltajes entre dos nodos, en este caso el primer subíndice indica el lado positivo y el segundo subíndice indica el lado negativo. Planteamos las ecuaciones para las diferentes trayectorias y vamos encontrando las respuestas que nos sirvan para solucionar las ecuaciones de otras trayectorias:

Trayectoria roja: V₁₃ - V₁₂ + V₂₃ = 0 10 v - 7.5 v + V₂₃ = 0 V₂₃ = -2.5 v

Trayectoria azul: - V₂₃ + V₄₂ - V₄₃ = 0 - (- 2.5 v) + V₄₂ - 4.8 v = 0 V₄₂ = 2.3 v

Trayectoria verde: + V₁₂ + V₄₁ -V₄₂ =0 7.5 v + V₄₁ - 2.3 v = 0 V₄₁ = - 5.2 v

LEYES DE KIRCHHOFF

APLICACIÓN

Para aplicar las leyes de Kirchhoff a un circuito eléctrico, se deben definir primero las distintas partes en
las que se puede dividir un circuito, estas son:
o NODO: Es un punto del circuito donde se unen tres o más conductores.
o RAMA: Es la parte del circuito situada entre dos nodos.
o MALLA: Es la parte del circuito que puede ser recorrida sin pasar dos veces por el mismo
sitio.

La ley de corriente de Kirchhoff como esta escrita es aplicable solamente a circuitos de corriente continua (i.e., sin corriente alterna, sin transmisión de señal). Puede ser extendida para incluir flujos de corriente que dependen del tiempo, pero esto está más allá del enfoque de esta sección.

Cada nodo se usa para formar una ecuación que son resueltas simultáneamente, y la solución de ecuaciones simultáneas entregan el voltaje en cada nodo.

En resumen: en un nodo la corriente que entra es la misma que sale de él.

LEY DE OHM

La ley de Ohm se aplica a cualquier parte del circuito tanto como al circuito completo. Puesto que la corriente es la misma en las tres resistencias de la figura 1, la tensión total se divide entre ellas.

La tensión que aparece a través de cada resistencia (la caída de tensión) puede obtenerse de la ley de Ohm.

Ejemplo: Si la tensión a través de Rl la llamamos El, a través de R2, E2, y a través de R3, E3, entonces

figura1

El = IxRI = 0,00758 X 5000 = 37,9 V

E2 = IxR2 = 0,00758 X 20.000 = 151,5 V

E3 = IxR3 = 0,00758 X 8000 = 60,6 V

PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF (LEY DE INTENSIDADES):

En un nodo se cumple que, la suma algebraica de las corrientes en el mismo, es igual a cero.

Para realizar la suma algebraica de las intensidades, se tendrá que tener en cuanta el signo de estas
intensidades. Se tomará como convenio que, el signo de las intensidades será el siguiente:
o Positivo, cuando el sentido de la corriente es de entrada al nodo.
o Negativo, cuando el sentido sea de salida del nodo.
En el nodo de la figura anterior, el resultado de aplicar la primera ley de Kirchhoff, sería el siguiente:

I1+I2-I3-I4 = 0

NOTA: En una rama, puesto que todos los elementos que la forman están conectados en serie, el
valor y sentido de la corriente eléctrica en todos los puntos y elementos de la misma, serán iguales.

La primera ley de Kirchhoff describe con precisión la situación del circuito: La suma de las tensiones en un bucle de corriente cerrado es cero. Las resistencias son sumideros de potencia, mientras que la batería es una fuente de potencia, por lo que la convención de signos descrita anteriormente hace que las caídas de potencial a través de las resistencias sean de signo opuesto a la tensión de la batería. La suma de todas las tensiones da cero. En el caso sencillo de una única fuente de tensión, una sencilla operación algebraica indica que la suma de las caídas de tensión individuales debe ser igual a la tensión aplicada.

E= El + E2 + E3

E= 37,9 + 151,5 + 60,6

E= 250 V

En problemas como éste, cuando la corriente es suficientemente pequeña para ser expresada en miliamperios, se puede ahorrar cantidad de tiempo y problemas expresando la resistencia en kilohms mejor que en ohms. Cuando se sustituye directamente la resistencia en kilohms en la ley de Ohm, la corriente será en miliamperios si la FEM está en voltios.

Resistencias en paralelo

En un circuito con resistencias en paralelo, la resistencia total es menor que la menor de las resistencias presentes. Esto se debe a que la corriente total es siempre mayor que la corriente en cualquier resistencia individual. La fórmula para obtener la resistencia total de resistencias en paralelo es

R=1 / (1/R1)+(1/R2)+(1/R3)+...

donde los puntos suspensivos indican que cualquier número de resistencias pueden ser combinadas por el mismo método.

En el caso de dos resistencias en paralelo (un caso muy común), la fórmula se convierte en

R= R1xR2 / R1+R2

Ejemplo: Si una resistencia de 500 O está en paralelo con una de 1200 O, la resistencia total es:

R = 500x1200/500+1200=600000 / 1700 =353

SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF (LEY DE TENSIONES):

En una malla se cumple que, la suma algebraica de las fuerzas electromotrices (f.e.m.s), es igual a la suma de las caídas de tensión en la misma.

Hay otra solución para el problema. Suponga que las tres resistencias del ejemplo anterior se conectan en paralelo como se muestra en la figura 2.

figura2

La misma FEM, 250 V, se aplica a todas las resistencias.

La corriente en cada una puede obtenerse de la ley de Ohm como se muestra más abajo, siendo I1 la corriente a través de Rl, I2 la corriente a través de R2, e I3 la corriente a través de R3.

Por conveniencia, la resistencia se expresará en kilohms, por tanto la corriente estará en miliamperios.

I1=E / R1=250 / 5 = 50mA

I2 = E / R2 = 250 / 20 =12,5mA

I3 = E / R3 = 250 / 8 = 31,25 mA

La corriente total es

I total =I1 + 12 + 13 = 50 + 12,5 + 31,25 = 93,75 mA

Este ejemplo ilustra la ley de corriente de Kirchhoff.

"La corriente que circula hacia un nodo o punto de derivación es igual a la suma de las corrientes que abandonan el nodo o derivación."

Por tanto, la resistencia total del circuito es

Rtotal= E / I = 250 / 93,75 = 2,667 KO

EJEMPLOS:

Ejemplo 1